L’Académie norvégienne des sciences et des lettres a annoncé jeudi 19 mars l’attribution du prix Abel 2026 au mathématicien allemand Gerd Faltings, de l’Institut Max-Planck de mathématiques à Bonn, "pour avoir introduit des outils puissants en géométrie arithmétique et résolu les conjectures diophantiennes de Mordell et de Mordell-Lang".

Depuis plus d’un siècle, les mathématiciens cherchent à comprendre les solutions entières ou rationnelles des équations polynomiales – un domaine baptisé géométrie arithmétique, à la frontière entre théorie des nombres et géométrie algébrique. Ces problèmes, appelés équations diophantiennes, consistent à trouver des nombres entiers ou rationnels qui satisfont une équation polynomiale donnée, parfois très simple en apparence.

Un exemple élémentaire consiste à chercher quelles sommes peuvent s’écrire sous la forme $5x + 8y$: une question qui revient à résoudre une équation dont les solutions sont des nombres entiers. D’autres équations, comme ($x^2 - 2y^2 = 0$), n’admettent aucune solution entière non triviale.

"Gerd Faltings est devenu une vedette en 1983. Il fait sensation dans la communauté mathématique en résolvant la conjecture de Mordell, rappelle Loïc Merel, professeur à l’université Paris-Cité et spécialiste de théorie des nombres. Et non seulement il a résolu cette question, mais il a en même temps résolu plusieurs autres problèmes, jusque-là ouverts, en géométrie arithmétique, notamment la conjecture de Tate et la celle de Shafarevitch."

Une conjecture vieille de soixante ans

L’exploit scientifique qui a fait connaître Faltings remonte à 1983: alors qu’il n’a pas 30 ans, il démontre la conjecture formulée en 1922 par le mathématicien américano-britannique Louis Mordell (1888-1972). Celle-ci concerne les solutions rationnelles d’équations définissant des courbes algébriques, c’est-à-dire des objets géométriques (de dimension 1) décrits par des équations polynomiales (en deux variables).

Après les courbes très simples comme les droites ou les coniques (parabole, ellipse, hyperbole), on rencontre les courbes elliptiques, qui peuvent être définies par des équations du type $y^2 = x^3+ a x +b $ où $a$ et $b$ sont des constantes et $x$ et $y$ des inconnues. Elles correspondent à des courbes dont on peut visualiser les solutions en nombres complexes comme des bouées (avec un seul trou). Leur importance est considérable : elles peuvent posséder une infinité de solutions rationnelles, organisées selon une structure algébrique riche, ce qui en fait des objets centraux en théorie des nombres.

Plus généralement, les courbes peuvent être classées selon leur "genre", une notion géométrique qui correspond intuitivement au nombre de trous de la surface associée. Cette classification détermine la nature des solutions : pour les courbes de genre 0 ou 1 – comme les courbes elliptiques – il peut exister une infinité de solutions rationnelles. En revanche, à partir du genre 2, la situation change radicalement.

"L’hypothèse de Mordell était que pour des courbes de genre au moins 2, il y a un nombre fini de solutions rationnelles", souligne Loïc Merel. C’est notamment le cas de certaines équations proches de celle de Fermat, du type $x^n + y^n = z^n$. À partir d’un certain degré $n \geq 4$, les solutions rationnelles ne peuvent plus former un ensemble infini, contrairement aux cas plus simples. Cette idée – que la forme géométrique d’une équation contrôle ses solutions arithmétiques – est aujourd’hui centrale en mathématiques.

Une révolution conceptuelle

La preuve de Faltings qui établit ce résultat a surpris les spécialistes. Plutôt que de s’appuyer sur des techniques classiques de calcul ou d’approximation, il mobilise des outils très abstraits issus de la géométrie algébrique moderne. Concrètement, il ne cherche plus directement les solutions de l’équation, mais étudie l’objet géométrique défini par cette équation – une courbe, une surface ou, plus généralement, une "variété algébrique". Résoudre une équation diophantienne revient alors à repérer les points à coordonnées rationnelles sur cet objet géométrique.

En réalité, la démonstration de la conjecture de Mordell s’inscrit dans un cadre bien plus large. Dans son article fondateur de 1983, intitulé Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern ("théorèmes de finitude pour les variétés abéliennes sur un corps de nombres"), Faltings établit des résultats généraux sur ces objets, qui généralisent les courbes elliptiques à des dimensions supérieures. La conjecture de Mordell apparaît alors comme un cas particulier de cette théorie de la finitude.

"Je me souviens avoir été impressionné, quand j’étais étudiant, par le fait que la topologie des points complexes d’une courbe – comme le nombre de trous – disait quelque chose de la finitude des points rationnels", raconte Loïc Merel. "Cette conjecture de Mordell, que l’on appelle désormais théorème de Faltings est devenue la base sur laquelle s’est construite une partie de la géométrie arithmétique moderne" évoque Cyril Demarche, maître de conférence à Sorbonne Université et spécialiste des équations diophantiennes.

Son approche a ouvert une voie nouvelle. Faltings ne se contente pas de résoudre un problème isolé : il introduit un cadre conceptuel qui relie des domaines jusque-là séparés.

Au-delà de Mordell

Un autre de ses apports majeurs s’inscrit dans l’étude de la conjecture de Mordell-Lang. Celle-ci s’intéresse à une question simple à formuler mais difficile à résoudre: comment les points rationnels se répartissent-ils à l’intérieur de ces espaces géométriques abstraits que sont les variétés abéliennes? Les travaux de Faltings montrent que, loin d’être dispersés au hasard, ces points suivent en réalité une structure très contrainte : ils se regroupent selon des sous-espaces bien particuliers, liés à la géométrie interne de la variété.
Autrement dit, même dans ces objets de grande complexité, il existe un ordre profond dans la manière dont apparaissent les solutions rationnelles – un ordre que les résultats de Faltings ont permis de mettre en lumière et qui ont ouvert la voie à la démonstration complète de la conjecture de Mordell-Lang.

"Faltings a par la suite correspondu avec Alexandre Grothendieck et, dans un texte publié en hommage à ce dernier, reconnu l’importance de son œuvre pour sa propre formation mathématique" signale Loïc Merel.

Ces avancées ont également soulevé de nouvelles questions: non seulement savoir s’il existe un nombre fini de solutions, mais aussi déterminer combien il y en a, ou comment elles se répartissent – des problèmes encore largement ouverts aujourd’hui.

Un prodige devenu figure majeure des mathématiques

Né en 1954 à Gelsenkirchen, en Allemagne, Gerd Faltings se distingue très tôt. Après une thèse en 1978, il devient professeur à 28 ans. Sa démonstration de la conjecture de Mordell, à peine un an plus tard, bouleverse la discipline. Cette résolution spectaculaire lui vaut la médaille Fields en 1986 alors qu’il n’a que 32 ans. Réputé pour sa puissance technique et sa rapidité, Faltings s’impose durablement comme une figure centrale de la géométrie arithmétique.

Un héritage durable

Les travaux de Gerd Faltings ont profondément renouvelé l’étude des équations diophantiennes, un domaine aussi ancien que toujours actif. En rapprochant arithmétique, géométrie et analyse, ils ont contribué à transformer durablement la théorie des nombres.

Ils ont notamment ouvert la voie à des avancées majeures, comme la démonstration du dernier théorème de Fermat par Andrew Wiles en 1995.

Pour la communauté mathématique, l’attribution du prix Abel consacre ainsi une œuvre qui a profondément renouvelé notre compréhension d’un problème aussi ancien que fondamental: celui de savoir quelles équations admettent – ou non – des solutions entières. "Le domaine des équations diophantiennes est aujourd’hui encore très actif, avec une énorme quantité des problèmes ouverts, explique Cyril Demarche. Gerd Faltings a donné des outils cruciaux pour s’y attaquer".

par Philippe Pajot

Lire aussi : 
Un article d'introduction aux équations Diophantiennes par Cyril Demarche: https://www.larecherche.fr/math%C3%A9matiques/plong%C3%A9e-dans-les-%C3%A9quations-diophantiennes

Pour en savoir plus : 
Le site de l'Académie norvégienne des sciences qui annonce les prix Abel: https://abelprize.no/abel-prize-laureates/2026

Crédit photo : Peter Badge/Typos1/The Abel Prize 2026